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伟大的定理:月牙面积

《天才引导的历程:数学中的伟大定理》本书将带领读者穿越两千年的数学旅程。作者从数学史的角度阐述了历史上最伟大的数学家以及他们历久?#20013;?#30340;成果,书中定理涉及平面几何、代数、数论、分析学和集合论等各个数学分支,内容丰富多彩,生动有趣。本节为大家介绍伟大的定理:月牙面积。

作者:李繁荣/李莉?#23478;?/span>来源:机械工业出版社|2013-01-07 09:44

伟大的定理:月牙面积

月牙形是一种边缘为两个圆弧的平面图形。希波克拉底并没有作出所有月牙形的等面积正方形,而只求出了一种他精心构造的特定月牙形的面积。(本章“后记”将会阐述,似乎正是这一点造成了后人对希腊几何的误解。)希波克拉底的论证是建立在3个初步结论之上的:

毕达哥拉斯定理。

半圆上的圆周角是直角。

两个圆形或半圆形面积之比等于其?#26412;?#30340;平方比。

 

前两个结论在希波克拉底之前很久便已为人所知。而最后一个结论却十分复杂。两个圆或半圆面积之比是基于以其?#26412;?#20026;边长所作的两个正方形面积之比的(见图1-14)。例如,如果一个半圆的?#26412;?#26159;另一个半圆?#26412;?#30340;5倍,则第一个半圆的面积是第二个半圆面积的25倍。然而,这一命题却给数学史家提出了一个问题,因为人们普遍怀?#19978;?#27874;克拉底是否确曾?#28304;?#20316;出过正确的证明。他很可能认为他能够证明这一结论,但现代学者普遍认为,这一定理(后来被列入欧几里得《几何原本》第十二卷的命题2)所提出的逻辑难题远非希波克拉底所能够解决的。(这一定理的推导过程在第4章介绍。)

 
(点击查看大图)图 1-14
暂且抛开这个问题不谈,我们先来看看希波克拉底的证明。首先,以O为圆心,以AO=OB为半径作半圆,如图1-15所示。作OC垂直于AB,其交半圆于C,并连接AC与BC。平分AC于D,然后以D为圆心,以AD为半径作半圆AEC,这样就形成了月牙形AECF,如图1-15中阴?#23433;?#20998;所示。
 
(点击查看大图)图 1-15

希波克拉底的证明方法既简单又高明。首先,他必须证实所论证的月牙形与图中阴?#23433;?#20998;的△AOC面积恰好完全相等。这样,他就可以应用已知的三角形能表示为等积正方形的公理来断定月牙?#25105;部?#29992;等积正方形表示。这一经典论证的详细过程如下。

【定理】月牙形AECF可用等积正方形表示。

【证明】由于∠ACB为半圆上的圆周角,所以,∠ACB是直角。根据“边角边”全等定理,三角形AOC和BOC全等,因此,AC=BC。然后,我们应用毕达哥拉斯定理,就得到

 

因为AB是半圆ACB的?#26412;叮珹C是半圆AEC的?#26412;叮?#25152;以,我们可以应用上述第三条结论,即得到

 

也就是说,半圆AEC的面积是半圆ACB面积的一半。

我们现在来看四分之一圆AFCO。显然,这个四分之一圆?#24425;?#21322;圆ACB面积的一半,据此,我们可直接得出

面积(半圆AEC)=面积(四分之一圆AFCO)

最后,我们只需从这两个图形中各自减去它们共同的部分AFCD,如图1-16所示,即

面积(半圆AEC)-面积(AFCD部分)

=面积(四分之一圆AFCO)-面积(AFCD部分)

我们从图中可以很快看出,剩下的部分就是

面积(月牙形AECF)=面积(△ACO)

我们已经知道,可以作一个正方形,使其面积等于三角形ACO,因而也等于月牙形AECF的面积。这就是我们所寻求的化月牙形为方的问题。证毕

 
(点击查看大图)图 1-16
这的确是数学上的一大成就。评论家?#31456;?#20811;洛斯(公元410—485)以他5世纪的眼光认为,希俄斯的希波克拉底?#21834;?#20316;出了月牙形的等面积正方形,并在几何学中做出过许多其他发现,如果?#30340;?#20010;时代有一位作图的天才,那一定非他莫属。”
【责任编辑:book TEL:(010)68476606】

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